Как посчитать вероятность того, что у вас выигрышный лотерейный билет - УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГОМЕЛЬСКОГО ГОРИСПОЛКОМА

Один из способов заработать быстро крупную сумму денег — выиграть в лотерею. Эта деятельность хоть и связана с большим риском, однако, если проанализировать правила игры и выявить основные тенденции, можно разработать выигрышные стратегии. Также для победы нужна вера в успех и немного везения.

Каковы шансы выиграть деньги в лотерею

Согласно математической статистике победить в лотерее реально. Выиграть может любой билет, купленный в любом месте. В игровой тематике существует термин «дистанция», который показывает, как быстро человек может получить вознаграждение.

Суть в том, что испытывать удачу в игре можно сколько угодно долго (от нескольких дней до нескольких месяцев). Предугадать, когда именно возникнет джек-пот невозможно, поскольку вероятность выигрыша у всех билетов одинакова.

То есть получить деньги может как новичок, так и профи.

Кроме того, много игроков верят в специальные заговоры, заклинания, счастливые числа, с помощью которых можно попасть в серию выигрышей.

Истории людей, связанные с их успешным применением, демонстрируются в литературных произведениях, сериалах и фильмах. Конечно, важность веры в специальные знаки и свои силы сложно переоценить.

Но любой игрок также рассчитывает на элементарную математическую статистику и теорию вероятности.

В какой лотерее больше шансов выиграть

Сегодня на рынке представлено большое количество лотерей. Новичкам лучше всего начинать с самых известных и крупных отечественных лотерей с простыми и прозрачными правилами.

А именно:

Чем масштабнее розыгрыш, тем проще в нем выиграть.
Участвовать в российских лотереях можно без посредников.

Результат мгновенных лотерей игрок узнает сразу. Для участия в розыгрыше нужно стереть в защитное покрытие на купоне, оторвать часть билета и развернуть ее и т. д. Большинство мелких призов можно получить прямо на месте, а вот за джек-потом придется обращаться к организаторам, причем, в сжатые сроки.

В тиражных лотереях призы игрокам раздаются в определенное время.

Для участия в игре необходимо:

выбрать определенные числа и записать их на билете или вычеркнуть из списка;
получить фирменную карточку с порядковым номером участника.

К тиражным лотереям также относятся викторины и аукционные розыгрыши (проводят торговые марки в качестве рекламы своих продуктов). В таких конкурсах чаще дарят подарки, а не денежный приз. Бывалые игроки советуют участвовать и в таких несерьезных лотереях. За счет маленького тиража билетов и ограниченного количества игроков победить в лотерее довольно просто.

Секреты гарантированного выигрыша

Стратегий существует очень много. Все они строятся на базовых принципах выигрыша.
Во-первых, нужно определиться с конкретной игрой. Во-вторых, нужно собрать статистику по выигрышным номерам в лотерее. Профессионалы советуют указывать в новом билете хотя бы одно из выигрышных чисел в предыдущей партии.

Играть в лотерею нужно постоянно. Вероятность выигрыша крупной суммы в крупной лотерее маленькая. Чтобы не упустить свой шанс следует покупать билеты как можно чаще.

Пробуйте разные игры. Даже если вы выработали стратегию в конкретной игре или просто по каким-то другим причинам предпочитаете отдельную игру, периодически все таки стоит испытывать свою стратегию в других лотереях.

Как угадать числа в лотерее — 7 из 49 теория вероятности выигрыша

Отечественная лотерея «Гослото 7 из 49» привлекает игроков крупным суперпризом. Человек, угадавший 7 чисел, получит 50 млн. руб. Для расчета вероятности победы в этой и любой другой лотерее можно применить формулу из комбинаторики.

Для этого необходимо найти сочетание k элементов (в нашем случае 7) из n данных (из 47):

k номеров из n =	(n)	=	n(n-k)…*((n-(k-1))
(k)	12…* k

Подставим в формулу нужные значения:

7 номеров из 49	(49)	=	49,048,047,046,045,0*44,0
(7)	1234567

Вероятность получения приза в Гослото составляет:

Угадано чисел Вероятность

3	1:22
4	1:214
5	1:4750
7	1:85900584

Лотереи, в которые реально можно выиграть крупную сумму

Новичкам лучше начать тренироваться на отечественных лотереях. Победителям будет проще забрать приз или денежное вознаграждение.

Самыми популярными в России являются:

Лото «6 из 49»;
«Кено»;
Гослото;
«Золотой ключ»;
Русское лото;
Жилищная лотерея.

Список самых популярных зарубежных лотерей и статистика выигрыша по ним представлены в таблице далее.

Лотерея Страна Приз, млн. руб. Кол-во побед, шт.

Megabucks	США	409,4	45
SuperStar	Италия	53,8	243
Powerball	США	51,9	495
MegaMillions	США	47,0	368
EuroMillions	Европа	30,8	1004
Loto	Франция	7,0	139
Пауэрбол	Новая Зеландия	6,1	9
LaPrimitiva	Испания	4,9	730

Русское лото — секреты игры

Русское лото – это самая простая и увлекательная игра, которая нравится миллионам россиян.

За время ее существования игрокам удалось выяснить некоторые секреты:

Потенциальный выигрыш приносит баланс четных и нечетных чисел. Также должно соблюдаться соотношение маленьких и больших чисел. В идеале необходимо одинаковое количество чисел, заканчивающихся на одну и туже цифру.
Если разыгрываются 90 чисел, то резко увеличивается вероятность выпадения чисел, связанных с 45.
Вероятность победы очень высокая. По результатам каждого тиража не использованными остаются 3-5 чисел из 90. То есть для получения приза нужно купить минимум 3 билета и не использовать одинаковые комбинации в каждом из них.

Рассчитать выигрыш в суперлото, столото или гослото

Шанс получить джекпот в EuroMillions составляет 1:116 млн, а в «Гослото «5 из 36» — 1:376 992. Стать счастливчиком может каждый покупатель билета. Нужно только знать, как рассчитать выигрышную комбинацию чисел.

Способ 1 «Статистический»

Обычно государственные лотереи предоставляют детальную статистику по каждому тиражу билетов. Информация на сайте организаторов обновляется ежедневно:

статистика по частым комбинациям — в последних 10 тиражах, за всю историю игры;
редкие числа;
частые пары чисел;
частые номера в первых турах лотерей;
архив всех лотерей.

Нужно проанализировать 3-4 предыдущих тиража, найти повторяющиеся комбинации и использовать их в текущей игре.
Способ 2 «Эмоциональный»
Алекс Беллос автор книги «Красота в квадрате» утверждает, что цифры служат не только инструментом для подсчета, но и вызывают определенные чувства.
По результатам своих исследований он выявил любимые числа человечества:

Как устроены лотереи и можно ли просчитать вероятность выигрыша? — Meduza

Перейти к материаламПартнерский материал

Данное сообщение (материал) создано и (или) распространено иностранным средством массовой информации, выполняющим функции иностранного агента, и (или) российским юридическим лицом, выполняющим функции иностранного агента.

Да. За первую половину 2018-го россияне купили 140 012 882 лотерейных билета, 61 519 910 из них оказались выигрышными. Это данные «Столото» — официального распространителя лотерей, вместе с ним мы написали эти карточки. Речь только о государственных лотереях России, проведение негосударственных запретили в 2014 году.

Потому что организаторы частных лотерей обманывали участников (занижали или подтасовывали выигрыши) и государство (устраивали махинации с налогами и отчислениями в бюджет).

Решение запретить такие лотереи и развивать государственные приняли с оглядкой на международный опыт: по этой схеме с недобросовестными организаторами борются, например, в Италии, Греции, Китае.

В итоге вместо сотен частных компаний с 2014 года на рынке осталось только два организатора лотерей — министерство спорта и министерство финансов. По словам властей, они гарантируют прозрачность и честность розыгрышей, защищая интересы участников.

Нет. Бренд «Столото» принадлежит частной компании, которая через свой сайт и специальные точки продаж распространяет государственные лотереи, а также выплачивает выигрыши победителям. По сути это последнее звено в схеме работы российских лотерей. Всего в ней три участника: организатор, оператор и распространитель.

Организаторы лотерей — Минспорта и Минфин — на конкурсной основе выбирают операторов, заключают с ними договор и согласовывают условия проведения розыгрышей. Дальше операторы проводят лотереи, а распространители — продают билеты и выплачивают выигрыши.

«Столото» — крупнейший распространитель государственных лотерей, он продает лотерейные билеты таких операторов, как «Спортлото» и «Государственные спортивные лотереи».

Да, в России, как и в других странах, государство на лотереях зарабатывает, чтобы финансировать разные социальные объекты и мероприятия — в первую очередь спорт. Например, в 2014 году проводили розыгрыши в поддержку Олимпиады в Сочи.

Самые частые выигрыши — небольшие: от нескольких сотен до нескольких тысяч рублей. Но, конечно, все мечтают получить главные призы — квартиры, автомобили, путешествия и джекпоты.

Самый крупный выигрыш в России зафиксировали в 2017 году: жительница Воронежской области вытянула билетик на 506 миллионов рублей. А летом 2018-го мужчина из Краснодара выиграл более 74 миллионов.

Завершится этот год новогодним розыгрышем «Русского лото» — там разыграют джекпот на 1 миллиард рублей.

Тут уж как повезет. С одной стороны, шанс выиграть крупный приз есть у каждого — это дело счастливого случая. Бывает, что люди получают джекпот, купив лотерейный билет на сдачу. С другой стороны, с точки зрения математики вероятность не велика.

Давайте посчитаем вероятность выигрыша в конкретной лотерее. Возьмем для примера «Гослото „6 из 45“». Чтобы получить главный приз — 10 миллионов рублей, нужно угадать шесть чисел из 45.

Рассчитывать вероятность будем издалека — не пугайтесь, это математический подход, и так будет проще считать. Вводные: нужно угадать сами числа и в каком порядке они выпадут. Рассуждаем логически: вероятность угадать первое число — 1/45, второе — 1/44 и так далее. Чтобы посчитать вероятность угадать все шесть чисел (в правильном порядке), нужно все перемножить — получится меньше .

Теперь вернемся к нашей лотерее. Там угадывать порядок не надо: если вы назовете правильные числа так — 1, 2, 3, 4, 5, 6, а они выпадут так — 6, 1, 3, 2, 5, 4, — вы все равно выиграли.

Значит, шанс взять джекпот увеличивается многократно. Высчитаем его так: вероятность, полученную выше, умножим на , в которых могут выпасть числа-победители. Получается .

То есть вам нужно купить 8 миллионов билетов одного тиража, чтобы выиграть главный приз.

Конечно, никто не будет играть так часто и покупать так много билетов — это безумие, а прагматичный подход к лотереям не работает. Остается только положиться на удачу. К примеру, в 2016 году повезло 47-летнему доктору из Новосибирска: мужчина потратил на лотерейный билет «Гослото „6 из 45“» 1800 рублей, а выиграл 358 миллионов.

Во-первых, удачи. Во-вторых, имейте в виду, что участвовать в лотерее могут только люди старше 18 лет. С этого года продавцы даже имеют право потребовать у покупателя паспорт. Стоимость лотерей варьируется от 20 до 200 рублей.

Так, билет новогоднего розыгрыша «Русского лото» с миллиардным джекпотом обойдется в 150 рублей. Купить его можно на сайте stoloto.ru, через приложение «Столото», в отделениях «Почты России» и лотерейных киосках.

Обратите внимание — у каждого тиража свои сроки продаж.

Билеты новогоднего розыгрыша «Русского лото» можно купить с 22 октября, а закончатся продажи 31 декабря в 21:00 по московскому времени в офлайн-магазинах и 1 января 2019 года в 11:00 — на сайте «Столото». Сам розыгрыш покажут в прямом эфире на НТВ 1 января 2019 года примерно в 15:30 по московскому времени (время передачи уточняйте накануне).

Зависит от вида лотереи, которую вы выбрали. Объясним на примере «Столото». Если вы купили билет тиражной лотереи, то результаты можно узнать на сайте или в мобильном приложении «Столото».

С бестиражными (их еще называют моментальными) лотереями все проще — о выигрыше вы узнаете сразу после покупки, для этого достаточно стереть с билета защитное покрытие.

Во-первых, поздравляем! Во-вторых, все зависит от суммы выигрыша. Можно обратиться в ближайшую точку продаж, но нужно учитывать, что в разных точках — разные лимиты выплат. Где-то можно получить выигрыши до 1000 рублей, где-то до 200 000.

Поэтому лучше предварительно уточните информацию на сайте «Столото». Все крупные выигрыши выдают победителям в Москве в лотерейном центре «Столото». Имейте в виду: выигрыш облагается налогом 13%.

Если вы выиграли меньше 15 000 рублей, нужно будет заплатить налог самостоятельно, если больше, то налог удержат при выплате выигрыша.

Что бы ни случилось, права победителей лотерей защищает закон «О лотереях». Выплаты выигрыша должны начаться максимум через 30 дней после розыгрыша, а получить его целиком победитель должен в течение шести месяцев. Это прописано в ст. 20 закона «О лотереях».

Партнерский материал

Решение задач про вероятность выигрыша по лотерейным билетам

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Общая постановка задачи следующая:

Куплено $n$ лотерейных билетов. Вероятность выигрыша для каждого билета одинакова и равна $p$ (проигрыша — $q=1-p$). Найти вероятность того, что окажется ровно $k$ выигрышных билетов (и соответственно, $n-k$ безвыигрышных билетов).

Применяем формулу Бернулли и получаем:
Здесь $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$.
Посмотрите наш ролик о решении задач с лотерейными билетами в схеме Бернулли, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

$$
P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k cdot p^k cdot q^{n-k}. qquad (1)
$$

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о покупке лотерейных билетов

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. Вероятность того, что на один лотерейный билет выпадет выигрыш, равна 0,2. Куплено 5 билетов. Найти вероятность того, что выиграют 2 билета.

Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (покупках билетов), всего куплено $n=5$ билетов, вероятность выигрыша $p=0,2$, вероятность проигрыша $q=1-p=1-0,2=0,8$. Нужно найти, что будет ровно $k=2$ выигрышных билета. Подставляем все в формулу (1) и получаем:
$$
P_5(2)=C_{5}^2 cdot 0,2^2 cdot 0,8^3 = 10cdot 0,2^2 cdot 0,8^3= 0,205.
$$

Пример 2. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,3. Вы купили 8 билетов. Найти вероятность того, что а) хотя бы один билет выигрышный; б) менее трех билетов выигрышные

а) Разберем первый случай. Получаем параметры: $n=8$, $p=0,3$, $k ge 1$. Используем формулу для вероятности противоположного события (нет выигрыша ни по одному билету):

$$
P_8(k ge 1) = 1-P_8(k lt 1) = 1-P_8(0)=
$$
$$
=1-C_{8}^0 cdot 0,3^0 cdot 0,7^8 =1- 0,7^8=1- 0,058=0,942.
$$

Вероятность выиграть хотя бы по одному билету из 8 купленных равна 0,942 или 94,2%.

б) Разберем второй случай. Получаем параметры: $n=8$, $p=0,3$, $k lt 3$.

$$
P_8(k lt 3) = P_8(0)+P_8(1)+P_8(2)=
$$
$$
=C_{8}^0 cdot 0,3^0 cdot 0,7^8 +C_{8}^1 cdot 0,3^1 cdot 0,7^7+C_{8}^2 cdot 0,3^2 cdot 0,7^6=
$$ $$
=0,7^8 +8 cdot 0,3 cdot 0,7^7+28 cdot 0,3^2 cdot 0,7^6=0,552.
$$

Ответ: а) 0,942; б) 0,552.

Пример 3. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность того, что, по крайней мере, один из четырех билетов выиграет?

Введем исходное событие:
$A = $ (По крайней мере, один из четырех билетов выиграет),
а также противоположное ему событие, которое можно записать как:
$overline{A} = $ (Все 4 билета будут без выигрыша).

Будем искать вероятность события $overline{A}$. Выпишем значения параметров: $n=4$, $p=0,15$, $k =0$. Подставляем в формулу (1) и получаем:

$$
P(overline{A})=P_4(0)=C_{4}^0 cdot 0,15^0 cdot 0,85^4=0,85^4=0,522.
$$

Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы один выигрышный билет), равна:
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Поищите готовые задачи в решебнике:

$$
P(A)= 1 — P(overline{A})= 1- 0,522 = 0,478.
$$ Онлайн-расчеты по формуле Бернулли

Шансы выиграть в лотерею

Вероятность выигрыша в лотерею зависит от количества возможных комбинаций выпадения шаров и мы сейчас научимся самостоятельно их рассчитывать, а для тех, кто не хочет самостоятельно считать, в конце есть онлайн калькулятор.

Вероя́тность — степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события.

Начнём с простого, у нас есть пять шаров:

Какова вероятность угадать один шар из пяти? Она равняется 15frac{1}{5}51 , есть лишь пять возможных комбинаций для данного набора чисел: выпадет либо 5 , либо 3 , либо 2 , либо 4 , либо 1 .

Давайте для дальнейшего удобства наши лотереи будем обозначать « kkk из nnn », а когда потребуется, будем подставлять соответствующие цифры.

Усложним правила нашей лотереи — для победы необходимо угадать «2 из 5» ( k=2,n=5k = 2, n = 5k=2,n=5 ). Теперь шанс угадать составляет 110frac{1}{10}101 , так как есть десять возможных комбинаций, вот они:

Важно отметить, что для выигрыша в лотерею порядок выпадения чисел в каждой комбинации не имеет значения.

В теории вероятностей вышеприведённые пять шаров на самом деле являются множеством чисел от 1 до 5. Множество обозначается фигурными скобками { }, а каждая отдельная комбинация называется сочетанием.

В комбинаторике сочетанием k из n элементов называется комбинация, содержащая k элементов, выбранных из множества, содержащего n различных элементов.
В сочетаниях не учитывается порядок элементов, {1,2}{1, 2}{1,2} и {2,1}{2, 1}{2,1} считаются одинаковыми.
Теперь всё это мы можем записать математически:
У нас есть множество из 5 шаров {1,2,3,4,5}{1, 2, 3, 4, 5}{1,2,3,4,5} . И есть 10 сочетаний, которые можно составить из 5 по 2 шара:

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов в каждом обозначается CnkC_{n}^{k}Cnk (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”) и читается как «число сочетаний из n элементов по k». В нашем случае C52C_{5}^{2}C52 — число сочетаний из 5 по 2 равно 10.

Число сочетаний

Число сочетаний рассчитывается по формуле:

Cnk=n!k!(n−k)!C_{n}^{k} = frac{n!}{k!(n-k)!}Cnk=k!(n−k)!n!

n!n!n! и k!k!k! — это факториалы соответствующих чисел nnn и kkk . Факториал натурального числа nnn это произведение всех натуральных чисел от 1 до nnn включительно. Например, факториал числа 5 равен 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=1205! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 = 1205!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120 .

Давайте проверим наш результат для лотереи 2 из 5:

C52=5!2!(5−2)!=5!2!⋅3!=1⋅2⋅3⋅4⋅51⋅2⋅1⋅2⋅3C_{5}^{2} = frac{5!}{2!(5-2)!}= frac{5!}{2!cdot3!} = frac{1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5}{1 cdot 2 cdot 1 cdot 2 cdot 3}C52=2!(5−2)!5!=2!⋅3!5!=1⋅2⋅1⋅2⋅31⋅2⋅3⋅4⋅5

Смотрите, мы можем сократить делимое и делитель на (n−k)!(n-k)!(n−k)! , я выделил скобками, чтобы было понятней:

(1⋅2⋅3)⋅4⋅51⋅2⋅(1⋅2⋅3)=1⋅2⋅31⋅2⋅3⋅4⋅51⋅2=202=10frac{(1 cdot 2 cdot 3) cdot 4 cdot 5}{1 cdot 2 cdot ( 1 cdot 2 cdot 3)} = frac{1 cdot 2 cdot 3}{1 cdot 2 cdot 3} cdot frac{ 4 cdot 5}{1 cdot 2} = frac{20}{2} = 101⋅2⋅(1⋅2⋅3)(1⋅2⋅3)⋅4⋅5=1⋅2⋅31⋅2⋅3⋅1⋅24⋅5=220=10

Обратите внимание, что после того как мы сократили делимое и делитель, у нас осталось по два числа в делимом и делителе, а точнее по kkk чисел.

В делимом это произведение двух самых больших чисел из nnn , а в делителе факториал числа kkk .

И если вы хотите посчитать вероятность выигрыша, вам не надо считать полностью факториалы, а достаточно перемножить kkk самых больших элементов из nnn и разделить на факториал kkk .

Давайте посчитаем количество комбинаций для лотереи «Спортлото «6 из 45»:

C456=45!6!(45−6)!=45⋅44⋅43⋅42⋅41⋅406⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=5 864 443 200720=8 145 060C_{45}^{6} = dfrac{45!}{6!(45-6)!} = dfrac{45cdot44cdot43cdot42cdot41cdot40}{6cdot5cdot4cdot3cdot2cdot1} = dfrac{5 864 443 200}{720} = {8 145 060}C456=6!(45−6)!45!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅145⋅44⋅43⋅42⋅41⋅40=7205 864 443 200=8 145 060

Весь набор сочетаний — это полная система. Если вы купите билеты со всеми комбинациями, то вы гарантированно выиграете.

Вероятность выигрыша

Теперь перейдем к вероятности выигрыша, если вы покупаете билет лотереи «Спортлото «6 из 45» с одной комбинацией, то вероятность у вас 1 к 8 145 060.

Вы взяли 2 билета с разными комбинациями — ваши шансы равны 2 к 8 145 060 или 1 к 4 072 530. Взяли 10 билетов, но везде записали одну и ту же комбинацию — ваши шансы снова 1 к 8 145 060.

Таким образом, вероятность — это отношение количества ваших уникальных комбинаций к общему количеству комбинаций.

Если вы играете в лотерею, в которой надо угадать правильно числа в двух игровых полях, например, в американскую лотерею Powerball «5 из 69 + 1 из 26», то вам необходимо перемножить количество комбинаций «5 из 69» на «1 из 26».

C695=69!5!(69−5)!=69⋅68⋅67⋅66⋅655⋅4⋅3⋅2⋅1=1 348 621 560120=11 238 513C_{69}^{5} = dfrac{69!}{5!(69-5)!} = dfrac{69cdot68cdot67cdot66cdot65}{5cdot4cdot3cdot2cdot1} = dfrac{1 348 621 560}{120} = {11 238 513}C695=5!(69−5)!69!=5⋅4⋅3⋅2⋅169⋅68⋅67⋅66⋅65=1201 348 621 560=11 238 513 C261=26!1!(26−1)!=261=261=26C_{26}^{1} = dfrac{26!}{1!(26-1)!} = dfrac{26}{1} = dfrac{26}{1} = {26}C261=1!(26−1)!26!=126=126=26 11 238 513⋅26=292 201 33811 238 513cdot26 = 292 201 33811 238 513⋅26=292 201 338

«Спортлото «4 из 20»

В российской лотерее «Спортлото «4 из 20» для выигрыша суперприза необходимо в двух полях угадать по «4 из 20», вычисляем количество комбинаций для одного поля:

Получаем 4 845 комбинаций, вероятность угадать «4 из 20» равна 1 к 4 845, но так как нам необходимо два раза угадать, то мы перемножаем вероятности, чтобы получить количество комбинаций для двух полей:
14845⋅14845=123,474,025frac{1}{4845}cdotfrac{1}{4845} =frac{1}{23,474,025}48451⋅48451=23,474,0251
Как мы видим, вероятность выиграть в «Спортлото «4 из 20» меньше чем в «Спортлото «6 из 45», 1 к 23 миллионам против 1 к 8 миллионам.
Но это хотя бы реально, давайте взглянем на правила российской лотереи «Русское лото»:

«Русское лото»

В мешок загружают бочонки, пронумерованные от 1 до 90. Ведущий достает бочонки по одному и называет их номера. В 1-м туре выигрывают билеты, в которых 5 чисел в любой из шести горизонтальных строк раньше других совпали с номерами бочонков, извлеченных из мешка.

Во 2-м туре выигрывают билеты, в которых все 15 чисел в любом из полей раньше других совпали с номерами бочонков, извлеченных из мешка.

Если у вас на пятнадцатом ходу все пятнадцать чисел одного из двух игровых полей билета (верхнего или нижнего) совпадут с номерами бочонков, извлеченных из мешка, — вы выиграли Джекпот.

Получается, что на 15-ом ходу мы должны «угадать» «15 из 90».

Слово угадать взято в кавычки, так как мы не выбираем числа в этой лотерее, в отличие от других, в «Русском лото» цифры уже выбраны. Давайте оценим вероятность угадать «15 из 90»:

C9015=90!15!(90−15)!=90⋅89⋅88⋅87⋅86⋅85⋅84⋅83⋅82⋅81⋅80⋅79⋅78⋅77⋅7615⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=59 885 829 008 610 350 000 000 000 0001 307 674 368 000=45 795 673 964 460 820C_{90}^{15} = dfrac{90!}{15!(90-15)!} = dfrac{90cdot89cdot88cdot87cdot86cdot85cdot84cdot83cdot82cdot81cdot80cdot79cdot78cdot77cdot76}{15cdot14cdot13cdot12cdot11cdot10cdot9cdot8cdot7cdot6cdot5cdot4cdot3cdot2cdot1} = dfrac{59 885 829 008 610 350 000 000 000 000}{1 307 674 368 000} = {45 795 673 964 460 820}C9015=15!(90−15)!90!=15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅190⋅89⋅88⋅87⋅86⋅85⋅84⋅83⋅82⋅81⋅80⋅79⋅78⋅77⋅76=1 307 674 368 00059 885 829 008 610 350 000 000 000 000=45 795 673 964 460 820

Википедия подсказала мне это слово — квадриллио́н. Вероятность выиграть джекпот в Русском лото один к сорока пяти квадриллионам. Помните задачу о зёрнах на шахматной доске? Эта цифра такого же порядка, ну может раз в 400 поменьше. Это астрономическая цифра, нереальная.

Когда вы играете в обычную лотерею, например «6 из 45», вы заполняете билет и ваша комбинация участвует в розыгрыше.

В Русском лото вы не заполняете билет, вы покупаете билет с уже готовой комбинацией чисел.

Было бы честно, если бы вы могли выбрать одну свою комбинацию из 45 квадриллионов, но вы не сможете, так как никто и никогда не сможет напечатать такое количество билетов для одного тиража.

Но давайте пойдём дальше оценивать вероятности. Следующая лотерея «Спортлото «5 из 36». Правила нам говорят следующее:

«Спортлото «5 из 36»

Выберите от пяти чисел в диапазоне от 1 до 36 в поле 1 и от одного числа в диапазоне от 1 до 4 в поле 2. Угадав 5 чисел в поле 1 и 1 число в поле 2 , вы получаете суперприз. Угадав только 5 чисел в поле 1 , вы получаете выигрыш категории «приз».

Для выигрыша суперприза необходимо угадать «5 из 36 и 1 из 4», смотрим:

C365=36!5!(36−5)!=36⋅35⋅34⋅33⋅325⋅4⋅3⋅2⋅1=45 239 040120=376 992C_{36}^{5} = dfrac{36!}{5!(36-5)!} = dfrac{36cdot35cdot34cdot33cdot32}{5cdot4cdot3cdot2cdot1} = dfrac{45 239 040}{120} = {376 992}C365=5!(36−5)!36!=5⋅4⋅3⋅2⋅136⋅35⋅34⋅33⋅32=12045 239 040=376 992 C41=4!1!(4−1)!=41=41=4C_{4}^{1} = dfrac{4!}{1!(4-1)!} = dfrac{4}{1} = dfrac{4}{1} = {4}C41=1!(4−1)!4!=14=14=4 376 992⋅4=1 507 968376 992cdot4 = 1 507 968376 992⋅4=1 507 968

Один к полутора миллионам, шансы есть. Посмотрим вероятность выиграть приз при угадывании «5 из 36»:

Шансы ещё выше.

«6 из 36»

Следующая лотерея «6 из 36», здесь вы не сможете самостоятельно выбрать комбинацию, придётся покупать что предложат. Смотрим:

C366=36!6!(36−6)!=36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅316⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=1 402 410 240720=1 947 792C_{36}^{6} = dfrac{36!}{6!(36-6)!} = dfrac{36cdot35cdot34cdot33cdot32cdot31}{6cdot5cdot4cdot3cdot2cdot1} = dfrac{1 402 410 240}{720} = {1 947 792}C366=6!(36−6)!36!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅136⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31=7201 402 410 240=1 947 792

«Спортлото «7 из 49»

C497=49!7!(49−7)!=49⋅48⋅47⋅46⋅45⋅44⋅437⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=432 938 943 3605 040=85 900 584C_{49}^{7} = dfrac{49!}{7!(49-7)!} = dfrac{49cdot48cdot47cdot46cdot45cdot44cdot43}{7cdot6cdot5cdot4cdot3cdot2cdot1} = dfrac{432 938 943 360}{5 040} = {85 900 584}C497=7!(49−7)!49!=7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅149⋅48⋅47⋅46⋅45⋅44⋅43=5 040432 938 943 360=85 900 584

Лотерея «Рапидо»

Теперь перейдём к экзотическим лотереям. Лотерея «Рапидо». Правила говорят, что для выигрыша суперприза:

Вам надо угадать 8 неповторяющихся чисел от 1 до 20 в первой части игрового поля и одно число от 1 до 4 — во второй части.

Получаем «8 из 20 и 1 из 4»

C208=20!8!(20−8)!=20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅138⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=5 079 110 40040 320=125 970C_{20}^{8} = dfrac{20!}{8!(20-8)!} = dfrac{20cdot19cdot18cdot17cdot16cdot15cdot14cdot13}{8cdot7cdot6cdot5cdot4cdot3cdot2cdot1} = dfrac{5 079 110 400}{40 320} = {125 970}C208=8!(20−8)!20!=8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅120⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13=40 3205 079 110 400=125 970 C41=4!1!(4−1)!=41=41=4C_{4}^{1} = dfrac{4!}{1!(4-1)!} = dfrac{4}{1} = dfrac{4}{1} = {4}C41=1!(4−1)!4!=14=14=4 125 970⋅4=503 880125 970cdot4 = 503 880125 970⋅4=503 880

Вероятность выигрыша в «Рапидо» составляет 1 к 503 880.

Лотерея «Зодиак»

В лотерее «Зодиак» необходимо угадать 4 числа: первое — от 1 до 31 включительно, второе — от 1 до 12 включительно, третье — от 0 до 99 включительно и четвертое — от 1 до 12 включительно. Мы получаем вероятности 1 из 31, 1 из 12, 1 из 100 (так как от 0 до 99 включительно) и снова 1 из 12. Перемножаем эти вероятности:

131⋅112⋅1100⋅112=1446,400frac{1}{31}cdotfrac{1}{12}cdotfrac{1}{100}cdotfrac{1}{12} =frac{1}{446,400}311⋅121⋅1001⋅121=446,4001

Вероятность выиграть суперприз в лотерею «Зодиак» составляет 1 к 446 400.

Лотерея «Дуэль»

Комбинация тиража состоит из четырех чисел: два числа (в диапазоне от 1 до 26) для первого поля и два числа (в диапазоне от 1 до 26) — для второго.

Чтобы выиграть суперприз мы должны угадать «2 из 26 и 2 из 26»:

C262=26!2!(26−2)!=26⋅252⋅1=6502=325C_{26}^{2} = dfrac{26!}{2!(26-2)!} = dfrac{26cdot25}{2cdot1} = dfrac{650}{2} = {325}C262=2!(26−2)!26!=2⋅126⋅25=2650=325 C262=26!2!(26−2)!=26⋅252⋅1=6502=325C_{26}^{2} = dfrac{26!}{2!(26-2)!} = dfrac{26cdot25}{2cdot1} = dfrac{650}{2} = {325}C262=2!(26−2)!26!=2⋅126⋅25=2650=325 325⋅325=105 625325cdot325 = 105 625325⋅325=105 625

Вероятность выиграть суперприз в лотерею «Дуэль» составляет 1 к 105 625.
А ещё вы можете посмотреть на вероятность выиграть в лотерею при использовании развёрнутых ставок.

C204=20!4!(20−4)!=20⋅19⋅18⋅174⋅3⋅2⋅1=116 28024=4 845C_{20}^{4} = dfrac{20!}{4!(20-4)!} = dfrac{20cdot19cdot18cdot17}{4cdot3cdot2cdot1} = dfrac{116 280}{24} = {4 845}C204=4!(20−4)!20!=4⋅3⋅2⋅120⋅19⋅18⋅17=24116 280=4 845 Вероятность выиграть в лотерею 4 из 20 составляет 1 из 4,845

Есть ли у вас шанс выиграть в лотерею — Лайфхакер

В американском сериале «4исла» (Numb3rs) главный персонаж — математик, помогающий ФБР в раскрытии преступлений.

В одной из серий он произносит фразу о том, что вероятность быть убитым по пути за лотерейным билетом выше, чем вероятность выиграть в лотерею.

В конце статьи я приведу расчёт, связанный с этим утверждением, а сейчас хочу немного рассказать о математике, стоящей за массовыми азартными играми, и о том, как она может помочь чуть повысить свои шансы.

Правило 1. Оценивайте риски

Для современного просвещённого человека не секрет, что казино и различные игорные заведения рассчитывают все свои игры так, чтобы всегда быть в выигрыше и иметь прибыль. Делается это очень просто: человеку нужно вернуть выигрыш, который соотносится с его ставкой в меньшую сторону по сравнению с его шансами выиграть.

Да, так или иначе, даже самые сложные математические модели в среднем сводятся к одному: если вы ставите 1 рубль, а вам предлагают получить 1 000 рублей, значит, ваш шанс выиграть — меньше, чем 1/1 000.

Исключений нет, если только кто-то специально не хочет подарить вам денег. Держите в голове это простое правило, чтобы всегда трезво смотреть на ситуацию.

Теория игр оценивает любую стратегию аналогично: вероятность получить выигрыш умножается на его размер. Грубо говоря, математика считает, что гарантированно получить 1 000 рублей — это как получить 2 000 рублей с 50-процентным шансом.

Этот принцип даёт вам возможность грубо сравнивать различные игры между собой.

Что лучше: миллион долларов с шансом 1/100 000 или 50 долларов с шансом 1/4? Интуитивно кажется, что первое предложение интереснее, но математически выгоднее второе.

Если оставаться в рамках одной лишь математики, можно вычислить: выиграть в казино невозможно, ведь любая выбранная стратегия приводит к тому, что произведение вероятности победы на размер выплаты для игрока всегда ниже ставки, которую он уже сделал.

Однако люди играют потому, что выигрыш для них заключается не только в деньгах, но ещё и в эмоциях от процесса — и уж тем более от победы.

А ещё потому, что деньги для нас нелинейны: формально получить 1 рубль прямо сейчас — это как получить миллион рублей с шансом 1/1 000 000, но по факту потеря рубля никак не скажется на нашем состоянии, в жизни не изменится совершенно ничего, а вот получение миллиона — очень серьёзное событие.

Правило 2. Играйте в открытую

К сожалению, проникнуть на внутреннюю кухню лотереи мы не можем. Но полезно понимать хотя бы формальную процедуру того, как именно идёт розыгрыш.

Например, знаменитые игровые автоматы «Однорукий бандит» и другие слот-машины — это на самом деле немного обман: на колесе, которое видит игрок, нарисованы символы различной стоимости, но при этом всё устроено так, чтобы игрок подумал, будто шансы выпадения каждого символа одинаковые. На самом деле (в старых автоматах — механически, а в современных — с помощью программы) за каждым видимым колесом скрывается настоящее, на котором ценные символы встречаются редко, а дешёвые – часто.

Шансы выпадения 777 на слот-машине ниже, чем вероятность получить какие-нибудь три вишни, причём отличие может быть в десятки раз.

«Открытые» лотереи в этом смысле гораздо честнее. В США распространён формат, когда билет либо содержит в себе последовательность чисел, либо она выбирается покупателем самостоятельно.

В России, например, предпочитают формат лото: на билете расположены несколько линий чисел, и нужно закрыть или одну из них (обычная победа), или все (джекпот).

В теории проводящая лотерею фирма может «специально» печатать и продавать невыигрышные билеты, а потом подтасовывать порядок шаров, но на практике крупные компании этого не делают: организаторы лотереи и так всегда в выигрыше, а скандал в случае вскрытия недобросовестности будет огромен.

Если вы намерены сыграть в азартную игру, полезно будет понять её механику и убедиться в отсутствии влияния заинтересованных лиц на результаты.

Правило 3. Знайте свои шансы

Вероятность джекпота в любой лотерее считается, как правило, одной формулой.

А вот расчёт вероятности, например, закрыть в лото хоть одну строчку весьма нетривиален и занял бы целую статью, а может, и не одну.

Поэтому на самом деле шанс получить какие-то деньги в лотерее выше за счёт того, что в большинстве лотерей есть дополнительные призы помимо главного. Но я остановлюсь именно на джекпоте для простоты оценки.

Допустим, мы купили лотерейный билет со случайным набором чисел. Во время розыгрыша вытаскивают столько же шаров, и если числа на них совпали с числами в билете (в любом порядке, это важно!), то мы выиграли. Вероятность такого выигрыша рассчитывается так:

Вероятность выигрыша = 1 ÷ Количество комбинаций шаров.

Количество комбинаций без учёта порядка называется в математике числом сочетаний, и если формула для его расчёта вам известна и понятна, то из этой статьи вы, скорее всего, не узнаете ничего нового. Если вы не математик, то проще будет воспользоваться онлайн-сервисом, например вот этим. Подобные сервисы (и формула, лежащая в основе их работы) предлагают задать два числа:

n — общее количество возможных вариантов одного предмета. В нашем случае предмет — это шар, а всего шаров столько, сколько чисел в лотерее, об этом ниже.
k — количество предметов в одной выборке. В нашем случае — сколько шаров лотерея разыгрывает и сколько при этом чисел в билете (предполагается, что эти величины равны).

Итак, если у нас есть лотерея с розыгрышем 5 шаров, а всего в лотерее 50 шаров с числами от 1 до 50, то вероятность выиграть в неё будет равна единице к числу сочетаний при k = 5 и n = 50, то есть:

1 ÷ 2 118 760 = 0,00005%.

Рассмотрим более сложный случай — популярную американскую лотерею PowerBall, в которой величина джекпота превышала миллиард долларов. По правилам есть базовая выборка из 5 чисел (от 1 до 69), а также одно дополнительное число (от 1 до 26). Нужно получить совпадение всех 6 чисел, чтобы выиграть.

Несложно понять, что шанс получить первый набор равен единице к числу сочетаний при k = 5 и n = 69 (то есть 11 238 513), а шанс «поймать» последний шар — 1 к 26. Чтобы получить всё сразу, эти шансы нужно умножить, потому что события должны произойти одновременно:

(1 ÷ 11 238 513) × (1 ÷ 26) = 1 ÷ 292 201 338 = 0,0000003%.

Иными словами, если 300 миллионов человек купят билеты, то выиграет кто-то один. Это показывает, почему выигрыш джекпота зачастую вообще не состоится: организаторы лотереи просто не печатают так много билетов, чтобы среди них попался выигрышный.

Правило 4. Вовремя начинайте

Лотерейный билет PowerBall, кстати, стоит 2 доллара. Чтобы подсчитать выгоду, которая окупила бы покупку билета, нужно умножить цену билета на 292 201 338.

Подробнее о расчётах. Это отсылка к первому пункту, где говорится о том, что выгода от решения равна его ценности, умноженной на вероятность. Если у нас есть событие с вероятностью 1/X и ценностью N, то выгода будет N/X. Мы тратим 2 доллара и можем подсчитать, какого размера выигрыш окупил бы покупку билета:

2 = N ÷ X.
N = 2 × X, а X тут как раз равен 292 201 338, как показали расчёты из предыдущей части

Ещё надо учесть налоги (узнать, какой процент от заявленной суммы фактически достанется победителю, обычно это около 70%). То есть джекпот должен составлять как минимум 850 миллионов долларов, и такое в этой лотерее бывает. Как же так, я ведь в начале сказал, что выигрыш при таком умножении всегда не в пользу игрока?

Дело в том, что если розыгрыш джекпота не состоялся, то он переходит на следующий раз, и поэтому какое-то время деньги копятся, а продажи билетов продолжаются.

В идеальной ситуации вам нужно пропускать все игры, не покупая билет, а потом купить именно на ту игру, в которой розыгрыш действительно состоится.

Но узнать это заранее невозможно. Однако можно начать покупать билеты, как только размер джекпота станет больше упомянутой суммы. В такой ситуации математически игра будет выгодной.

Ещё можно понять, что выгоднее: купить много билетов на одну игру или покупать по одному билету на много игр? Давайте подумаем.

В теории вероятностей есть понятие несвязанных событий. Это означает, что исход одного события никак не влияет на исход другого.

Например, если вы кидаете два кубика, то выпадения чисел на них не связаны между собой: с точки зрения случайности, один кубик не влияет на поведение второго.

А вот если вы тянете из колоды две карты, то эти события связаны, ведь от первой карты зависит то, какие карты останутся в колоде.

Популярное заблуждение по этому поводу так и называется — ошибка игрока. Оно возникает из-за интуитивного представления человека о связанности несвязанных событий.

Например, если монета много раз подряд выпадает орлом, то мы склонны считать, что шансы выпадения решки из-за этого увеличатся, но на самом деле это не так, шансы всегда одинаковые.

Возвращаясь к лотереям: разные игры — это несвязанные события, потому что последовательность шаров выбирается заново.

Так что шансы выиграть в любую конкретную лотерею никак не зависят от того, сколько раз раньше вы в неё играли.

Это очень сложно принять интуитивно, потому что человек каждый раз, покупая билет, думает: «Ну вот сейчас-то повезёт, сколько можно, я уже кучу времени играю!» Но нет, теория вероятностей — бессердечная штука.

А вот покупка нескольких билетов для одной игры увеличивает ваши шансы пропорционально, потому что билеты внутри одной игры связаны: если выиграет один, значит, другой (с другой комбинацией) точно не выиграет.

Покупка 10 билетов увеличивает шансы в 10 раз, если все комбинации на билетах разные (по факту почти всегда так и есть).

Иными словами, если у вас есть деньги на 10 билетов, лучше купить их на одну игру, чем покупать по билету на 10 игр.

После ваших уточнений в х справедливо будет заметить, что вероятность выиграть хотя бы в одной игре в серии из N игр выше, чем вероятность выиграть в любой одной конкретной игре. Впрочем, она всё ещё немного меньше, чем шансы выиграть, купив N билетов на одну игру, но разрыв довольно небольшой.

Если вы просто с зарплаты раз в месяц берёте билетик азарта ради, то, скорее всего, значение для вас имеет сам процесс игры. Математически выгоднее скопить эти деньги и в конце года купить сразу 12 билетов, хотя, конечно, проигрыш в такой ситуации будет восприниматься более сокрушительно.

Правило 5. Вовремя останавливайтесь

Ну и напоследок хочу сказать, что даже вероятность 1/100 с точки зрения отдельного человека — это очень мало. Если вы проверяете такую вероятность раз в месяц, то 100 таких проверок сделаете за 8 лет. Представьте себе, во сколько раз ниже вероятность 1/1 000 000 или 1/100 000 000? Поэтому ставьте всегда только ту сумму, которую не боитесь полностью потерять, и ни рублём больше.

В заключение, как обещал, приведу оценку утверждению из начала статьи. Эти данные для США, потому что утверждение было сформулировано именно для этой страны, к тому же мы выше уже посчитали шансы для американской лотереи.

По статистике, за 2016 год в США было совершено около 17 000 убийств, будем считать это средней цифрой.

А ещё предположим, что человек является потенциальной целью для убийства, когда он уже взрослый, но не старый — то есть около 50 лет в течение своей жизни. Значит, за эти 50 лет будет совершено около 850 000 убийств.

Население США составляет 325,7 миллиона человек, то есть шансы попасть в случайную выборку размером 850 000 такие:

850 000 ÷ 325 700 000 = 1 ÷ 383 = 0,3%.

Но погодите, это просто шанс быть убитым. А именно по пути за лотерейным билетом? Предположим, вы выходите из дома на работу каждый будний день, в один выходной куда-то выбираетесь, а в другой остаётесь дома. В среднем получается 6 дней в неделю, или около 26 дней в месяц. И один раз в месяц вы покупаете лотерейный билет. Поэтому полученные числа нужно ещё и разделить на 26:

(1 ÷ 383) ÷ 26 = 1 ÷ 9 958 = 0,01%.

И даже при такой грубой оценке это существенно вероятнее, чем выигрыш. Если точнее, то в 30 000 раз вероятнее. На самом деле, конечно, числа будут другие: человек подвергается опасности не только на улице, одни люди больше рискуют, чем другие, женщин убивают почти в четыре раза реже, чем мужчин. Но принцип такой.

Хотя жить без веры в хорошие события и с постоянным ожиданием плохих, даже зная математику, — это не самый лучший выбор.